Содержание
Что такое тригонометрия простыми словами
Слово пришло к нам из Древней Греции: «тригон» переводится как треугольник, а «метрео» — измеряю. То есть, это буквально измерение треугольников.
Суть в том, чтобы находить неизвестные стороны и углы, когда мы знаем лишь некоторые данные о фигуре. Раньше эти знания использовали астрономы и строители, а сегодня тригонометрия помогает создавать видеоигры, рассчитывать траектории полёта самолетов и даже анализировать звуковые волны для записи музыки.
Основные понятия: синус, косинус, тангенс, котангенс
Начнём знакомство с тригонометрическими функциями прямоугольного треугольника. Для его острых углов синус, косинус, тангенс и котангенс можно определить через отношения сторон.
Чтобы понять эти функции, представь прямоугольный треугольник. У него есть самая длинная сторона — гипотенуза и две стороны поменьше — катеты. Все тригонометрические функции — это просто отношения этих сторон.
Рассмотрим на примере угла $C$:
Синус и косинус:
синус ($\sin$) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin C = \dfrac{a}{c}$;
косинус ($\cos$) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos C = \dfrac{b}{c}$.
Тангенс и котангенс:
тангенс ($\operatorname{tg}$) — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $\operatorname{tg} C = \dfrac{a}{b}$;
котангенс ($\operatorname{ctg}$) — это отношение прилежащего катета к противолежащему: $\operatorname{ctg} C = \dfrac{b}{a}$ (то есть просто перевёрнутый тангенс).
Тригонометрический круг и таблица значений
Когда углы выходят за пределы обычного прямоугольного треугольника (например, становятся тупыми или больше $360^\circ$), на помощь приходит тригонометрический круг. Его радиус равен $1$, а центр совпадает с началом координат.
На круге очень удобно отмечать углы. Представь точку, которая движется по единичной окружности против часовой стрелки. Если угол поворота равен $\alpha$, то координаты точки равны $(\cos\alpha;\ \sin\alpha)$. Поэтому косинус показывает горизонтальную координату точки, а синус — вертикальную.
Здесь важно понимать, что такое число $\pi$ (пи). Это половина длины окружности единичного радиуса (в градусах это $180^\circ$). Полный оборот вокруг круга равен $360^\circ$ или $2\pi$ радиан.
Радиан — это центральный угол окружности, при котором длина дуги равна радиусу этой окружности.
Что мы видим на рисунке:
1. Перевод градусов в радианы и наоборот.
2. Значения синусов и косинусов основных углов (помним, что значение косинуса угла мы находим на оси $X$, а значение синуса — на оси $Y$).
3. И синус, и косинус принимают значения от $-1$ до $1$.
4. Значение тангенса угла находится делением $\sin$ на $\cos$, а котангенс — наоборот, делением косинуса на синус (важно помнить, что тангенс и котангенс существуют не во всех точках: тангенс не определён, если $\cos\alpha = 0$; котангенс не определён, если $\sin\alpha = 0$).
5. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
6. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
7. Синус и косинус — функции периодические, а период равен $2\pi$.
Так выглядит таблица тригонометрических функций:
Как работать с ней при нахождении значений: найти пересечение нужной функции и её значения, а после записать полученный радиан.
Ключевые формулы и тождества
Основное тригонометрическое тождество
Вся тригонометрия держится на нескольких базовых формулах, которые нужно знать наизусть. Начнём с основного тригонометрического тождества. Слово «тождество» подсказывает нам, что одна часть уравнения равна другой:
$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1.$$
Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла.
Основное тригонометрическое тождество следует из теоремы Пифагора. На единичной окружности координаты точки равны $(\cos x;\ \sin x)$, а расстояние от точки до начала координат равно $1$. Поэтому сумма квадратов координат равна $1$.
Связь тангенса и котангенса с синусом и косинусом
Тангенс и котангенс определяются через синус и косинус как отношения. Формулы справедливы только там, где знаменатели не равны нулю.
$$\operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x};$$
$$\operatorname{ctg} x = \dfrac{\cos x}{\sin x};$$
$$\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$$ (взаимно обратны: $\operatorname{ctg} x = \dfrac{1}{\operatorname{tg} x}$).
Связь между котангенсом и синусом, а также тангенсом и косинусом
Если основное тождество ($\sin^2 x + \cos^2 x = 1$) разделить на $\cos^2 x$ или $\sin^2 x$, получим:
$$1 + \operatorname{tg}^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x};$$
$$1 + \operatorname{ctg}^2 x = \dfrac{1}{\sin^2 x}.$$
Что такое формулы приведения в тригонометрии
Когда встречаются углы, отличные от привычных острых углов, тебе понадобятся знания о том, что такое формулы приведения в тригонометрии. Это специальные правила-помощники, которые позволяют упростить сложные выражения. Они помогают свести большие углы (например, $120^\circ$, $210^\circ$ или $330^\circ$) к обычным острым углам, а также быстро определить, какой знак (плюс или минус) будет иметь функция в нужной четверти круга.
Вот примеры формул приведения:
$$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right);$$
$$\cos(\pi - x);$$
$$\operatorname{tg}\left(x + \dfrac{3\pi}{2}\right);$$
$$\operatorname{ctg}\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right).$$
Где применяется тригонометрия
Тригонометрия пригодится на ОГЭ и ЕГЭ по математике. На ОГЭ её используют прежде всего в геометрических задачах. На ЕГЭ по профильной математике необходимо также уметь преобразовывать тригонометрические выражения, решать уравнения и использовать свойства тригонометрических функций. Но тригонометрия окружает нас и в повседневной жизни. С её помощью:
- измеряют высоту Эвереста;
- рассчитывают наклон крыш при строительстве домов;
- проектируют детали автомобилей;
- определяют движение персонажа в компьютерной игре.
Вот пример задачи:
Лыжник спускается с горы по трассе, длина которой $100$ м и которая наклонена под углом $30^\circ$. У склона стоит здание, крыша которого находится вровень с вершиной горы и создаёт прямоугольный треугольник. Какая высота здания?
Решение:
Синус $30^\circ$ — это отношение высоты здания к длине трассы. Синус $30^\circ$ равен $\dfrac{1}{2}$, поэтому:
$$\dfrac{1}{2} = \dfrac{h}{100};$$
$$h = \dfrac{1}{2} \cdot 100 = 50 \text{ м}.$$
Ответ: $50$ м.
Вопрос-ответ
Обязательно ли зубрить всю таблицу значений синусов и косинусов?
Необязательно механически заучивать все значения. Гораздо полезнее понять, как они получаются с помощью прямоугольного треугольника и тригонометрического круга. Но основные значения синуса и косинуса (для углов $0^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$) желательно уверенно знать наизусть — это сэкономит время на экзамене.
Зачем вообще нужны радианы, если есть привычные градусы?
Градусы удобны в геометрии, а радианы — в высшей математике, физике и программировании. Например, при расчёте движения объектов по окружности или при работе с тригонометрическими функциями в коде игр используются именно радианы.
Как не путать синус и косинус на экзамене?
Используй ассоциации. В прямоугольном треугольнике синус «смотрит» на катет напротив угла, а косинус «касается» катета, который находится рядом с углом. Как только найдёшь нужный катет, просто раздели его на гипотенузу.
Заключение
Тригонометрия — это не страшный монстр из учебника, а удобный математический инструмент. Поняв базовые определения и разобравшись с тригонометрическим кругом, ты без труда справишься с задачами на ОГЭ и ЕГЭ. Главное — не бояться задавать вопросы и тренироваться на практике.
Если хочешь легко решать задания по тригонометрии любой сложности и понимать, как работают эти формулы, тебе помогут опытные репетиторы по математике на платформе «Умскул Репетиторы». С грамотным наставником даже самые запутанные темы становятся понятными и логичными. Ждём тебя!