Прямоугольный треугольник: что это такое

Содержание

• Что такое прямоугольный треугольник: определение и свойства

• Стороны прямоугольного треугольника

• Теорема Пифагора

• Отношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике

• Признаки равенства прямоугольных треугольников

• Прямоугольный треугольник в заданиях ОГЭ и ЕГЭ

• Как запомнить свойства прямоугольного треугольника: советы

• Вопрос-ответ

• Заключение

Что такое прямоугольный треугольник: определение и свойства

Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, у которой три стороны и три угла, при этом один из них всегда равен 90°.

Свойства прямоугольного треугольника

• Сумма углов в прямоугольном треугольнике равна 180°.
• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
• Если в прямоугольном треугольнике один из углов равен 45°, то такой треугольник равнобедренный.

• Если в прямоугольном треугольнике есть угол 30°, то катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы.
• Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

• Высота, проведённая из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника.

• Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. При этом радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Стороны прямоугольного треугольника

Катеты — образуют прямой угол в треугольнике.

Гипотенуза — лежит напротив прямого угла в треугольнике.

При этом гипотенуза в прямоугольном треугольнике всегда будет самой длинной стороной. Вспомним, что напротив большего угла лежит бо́льшая сторона, а в прямоугольном треугольнике самый большой угол — это прямой.

Теорема Пифагора

a² = b² + c²

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Отношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике

Возьмём для наглядности угол С в прямоугольном треугольнике.

• Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin C = c/a.
• Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos C = b/a.
• Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему: tg C = c/b.
• Котангенс — это отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg C = b/c.

Важно: всё это работает только для прямоугольного треугольника. Если в условии дан произвольный, применять эти правила нельзя.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Прямоугольные треугольники подчиняются общим признакам равенства, но существуют и особые признаки. Разберём всё по порядку.

• Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

• Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

• Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

• Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

• Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Прямоугольный треугольник в заданиях ОГЭ и ЕГЭ

Теперь поговорим о заданиях, где может встретиться прямоугольный треугольник. На ОГЭ по математике это номера 2–5, 15–17, 19, 24, 25.

Пример задания №15

В треугольнике АВС угол С прямой, ВС = 8, sin A = 0,4. Найдите АВ.

Решение

Синус угла равен отношению противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ. Поэтому АВ = BC : sin A = 8 : 0,4 = 20.

Ответ: 20.

На ЕГЭ по базовой математике прямоугольный треугольник может встретиться в заданиях №9, 12, 13.

Пример задания №9

Площадь прямоугольника равна 12, а одна из сторон равна 4. Найдите длину диагонали этого прямоугольника.

Решение

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Следовательно, если одна сторона равна 4, а площадь равна 12, то другая сторона равна 3. По теореме Пифагора находим длину диагонали:

Ответ: 5.

На ЕГЭ по профильной математике прямоугольный треугольник встречается в заданиях №1, 2, 14, 17.

Пример задания №1

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 13, tg A = 1/5. Найдите AH.

Решение

Из треугольника ACH найдём tg A = CH/AH, значит, 1/5 = CH/AH, откуда CH = AH/5.

По свойству прямоугольного треугольника CH² = AH ⋅ HB. Пусть AH = x, тогда HB = 13 − x, следовательно, (x/5)² = x(13 − x) ⇔ x²/25 = 13x − x² ⇔ x² = 13 ⋅ 25x − 25x² ⇔ 26x² − 13 ⋅ 25x = 0 ⇔ 13x(2x − 25) = 0, откуда x = 0, что не подходит, или 2x − 25 = 0 ⇔ 2x = 25 ⇔ x = 12,5.

Ответ: 12,5.

Как запомнить свойства прямоугольного треугольника: советы

• Гипотенуза — всегда самая длинная сторона прямоугольника. Представьте, что гипотенуза — это крыша треугольника, которая накрывает два катета. Она всегда длиннее каждой из ножек.
• Сумма острых углов прямоугольного треугольника — 90°. Прямой угол — это своего рода хозяин дома, который забрал себе половину из 180°. Оставшиеся 90° делят между собой два острых угла — его гостя.
• Катет напротив угла в 30° равен половине гипотенузы. Представьте, что гипотенуза — это целое, а катет напротив угла в 30° — половина. 30 минут — половина часа, а катет — половина гипотенузы.
• Если в прямоугольном треугольнике один из углов равен 45°, то такой треугольник равнобедренный. 45° — это ровно половина от 90°. Когда прямой угол «разрезается» пополам, обе стороны (катеты) становятся братьями-близнецами.

Вопрос-ответ

Заключение

Теперь вы знаете определение прямоугольного треугольника, его свойства и ключевые формулы, которые помогут в решении задач. А для более комплексной подготовки к экзаменам по математике ждём вас на платформе «Умскул Репетиторы» — опытные специалисты помогут разобраться со всеми трудностями и за руку доведут до желаемого результата.

Успехов!