Синус и косинус: что это такое

Содержание

• Что такое синус и косинус простыми словами

• Синус угла и косинус угла в прямоугольном треугольнике

• Синусы и косинусы углов на единичной окружности

• Шпаргалка: таблица синусов и косинусов

• Главные формулы синусов и косинусов

• Теорема синусов и косинусов для произвольных треугольников

• Теорема синусов и косинусов на ОГЭ и ЕГЭ

• Вопрос-ответ

• Заключение

Что такое синус и косинус простыми словами

Если не усложнять теорией, синус и косинус — это просто коэффициенты пропорций. Они показывают, как при изменении угла меняются размеры связанной с ним конструкции.

Представьте солнечные часы или фонарный столб. Когда солнце поднимается выше над горизонтом (угол растёт), длина тени на земле уменьшается. Это поведение описывает косинус. Зато высота самого солнца над уровнем земли при этом увеличивается. За эту вертикаль отвечает синус. Как только меняется угол наклона, мгновенно пересчитываются и обе эти величины. А математические функции позволяют узнать их значения с точностью до миллиметра.

Синус угла и косинус угла в прямоугольном треугольнике

Базовую тригонометрию проще всего понять на прямоугольном треугольнике. Грани этой фигуры имеют чёткие роли: самая длинная наклонная сторона называется гипотенузой, а две прямые линии, образующие угол 90°, — катетами.

Простое правило запоминания:

• Синус (sin) показывает, какую долю от гипотенузы составляет катет, лежащий напротив нужного угла.
• Косинус (cos) показывает, какую долю от гипотенузы составляет катет, который прилегает к этому углу.

Синусы и косинусы углов на единичной окружности

Что делать, если угол равен 120°, 180° или даже 300°? В прямоугольный треугольник такой угол уже не поместишь.

Здесь на помощь приходит тригонометрическая окружность с радиусом R = 1 и центром в начале координат (0,0).

Когда радиус поворачивается на любой угол, точка на окружности получает координаты (x;y):

• координата по оси X — это косинус угла;
• координата по оси Y — это синус угла.

Благодаря кругу легко понять знаки функций:

• I четверть (0° — 90°): и sin, и cos положительны (+);
• II четверть (90° — 180°): sin > 0 (+), а cos < 0 (–);
• III четверть (180° — 270°): и sin, и cos отрицательны (–);
• IV четверть (270° — 360°): sin < 0 (–), а cos > 0 (+).

Шпаргалка: таблица синусов и косинусов

Некоторые значения углов встречаются в школьных задачах и на экзаменах постоянно. Их не нужно каждый раз выводить — достаточно запомнить.

Вот наглядная таблица синусов и косинусов, которую можно сохранить и использовать как шпаргалку:

Главные формулы синусов и косинусов

Для преобразования сложных выражений и решения тригонометрических уравнений используются базовые формулы синусов и косинусов:

• Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.
• Синус двойного угла: sin 2α = 2 sin α · cos α.
• Косинус двойного угла: cos 2α = cos²α − sin²α.
• Формулы суммы и разности углов: sin(α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β; cos(α ± β) = cos α · cos β ± sin α · sin β.

Теорема синусов и косинусов для произвольных треугольников

Когда треугольник не является прямоугольным, обычные соотношения катетов не работают. На помощь приходит универсальная теорема синусов и косинусов.

Теорема синусов

Стороны любого треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а само отношение равно диаметру описанной окружности (2R):

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними:

c² = a² + b² − 2ab · cos C.

Теорема синусов и косинусов на ОГЭ и ЕГЭ

В экзаменационных билетах тригонометрия встречает школьников на каждом шагу:

• Теорема синусов и косинусов на ОГЭ: ключевой инструмент для решения сложных задач по геометрии во второй части (задания №23–25). Если в условии даны две стороны и угол между ними или две стороны и один угол — сразу используем теорему косинусов или синусов.
• Теорема синусов и косинусов на ЕГЭ: составляет основу профильного экзамена. В задании №13 второй части нужно не просто решить уравнение с помощью формул двойного угла, но и правильно отобрать корни на окружности. Также тема критически важна для задач по стереометрии (задание №14) и планиметрии (задание №17).

Совет: если чувствуете, что геометрия и тригонометрия даются тяжело, не откладывайте подготовку на весну. Почитайте статью о том, как выбрать репетитора на лето для подготовки к экзаменам, чтобы заранее закрыть пробелы и войти в учебный год без лишнего стресса.

Вопрос-ответ

Заключение

Тригонометрия — это не монстр из школьных кошмаров, а просто математический конструктор. Как только перестаёшь зубрить формулы и начинаешь видеть за ними окружность и логику, любые синусы и косинусы из «страшилки» превращаются в лёгкие гарантированные баллы!

А если хотите разложить всю школьную программу по полочкам, перестать бояться отвечать у доски и уверенно сдать экзамены на максимальный балл, записывайтесь на занятия на платформе «Умскул Репетиторы». Объясним даже самые сложные темы простым языком, закроем все пробелы и подберём удобный темп обучения.